ROBOT Millennium - La non linéarité géométrique problème de convergence

Lorsque les déplacements subis par la structure ne permettent pas de confondre l'état déformé et l'état initial, on doit considérer les grands déplacements. Les équations qui régissent l'équilibre de la structure sont alors fonction de la déformée de celle-ci. On doit alors tenir compte de ce que l'on appelle la non-linéarité géométrique. Lors de calculs non linéaires, il se peut que les calculs ne converge pas. L'article ci-dessous explique certaines raisons d'une non convergence des calculs non linéaires et le moyen d'y remédier.

1) Emploi d'une méthode de résolution inappropriée :
Dans les paramètre de l'analyse modale, il est possible d'utiliser 3 méthodes

a) Méthode des contraintes initiales :


Cette méthode présente l'avantage d'être très rapide mais la convergence est plus difficile à obtenir.

b) La méthode de Newton-Raphson modifiée :


Cette méthode limite le nombre de calcul, cependant, la convergence n'est obtenue qu'après un nombre élevé d'itération.

c) La méthode de Newton-Raphson complète :


Cette méthode demande des temps de calcul plus important mais améliore nettement la convergence des calculs.

La méthode de Newton-Raphson complète est la méthode la plus performante. Elle est donc conseillée dès que la structure présente de fortes non-linéarités (modèle avec des éléments câbles par exemple). Les temps de calcul est très relatif car les ordinateurs d'aujourd'hui autorise des calculs très rapides.

2) Instabilité numérique :
Cette cause de non-convergence est très facilement détectable puisque l'on observe une non-convergence brutale. Comme le montre la figure ci-dessous dés le début de la résolution la valeur du ratio tend immédiatement vers l'infini au lieu de converger vers la valeur de tolérance définie. Elle est dans la plupart des cas due à une mauvaise modélisation (nombre d'appuis insuffisants, mauvaise définition des précontraintes pour les câbles par exemple, etc.)

3) Surcharge de la structure :
La non-convergence d'un calcul non-linéaire peut aussi intervenir lorsque la structure est surchargée. Cette surcharge amène à des instabilités locales de la structure, et on rejoint là une analyse de type flambement non-linéaire. Dans ce type d'analyse, on peut augmenter le nombre d'incrément afin de mieux définir le niveau de chargement à partir duquel on atteint le seuil de flambement.

4) Options de résolution mal adaptées :
Il existe aussi un certain nombre de cas où le calcul non-linéaire tend à converger, cependant les options de calcul définis par l'utilisateur ne permettent pas la convergence. Cela peut être par exemple le cas lorsque la convergence des calculs est lente, alors que le nombre d'itération maximum est insuffisant (solution : augmenter le nombre d'itération).

5) Conseil final :
D'une façon générale, comme nous l'avons vu plus haut, on peut améliorer la convergence des calculs non-linéaires par les modifications suivantes :
- Méthode de Newton-Raphson Complète
- Augmentation du nombre d'incrément de charge
- Augmentation du nombre d'itération maximum
- Réduction de la tolérance (rester dans un domaine de valeur correct : 0.001 minimum)