Prise en compte du mode résiduel dans ROBOT Millennium

ROBOT Millennium - Mode Résiduel

Prise en compte du mode résiduel

A partir de la version 18.0 de ROBOT Millennium vous pouvez prendre en compte un mode résiduel conformément à l’article 6.622 des PS92.
La prise en compte de ce mode résiduel est notamment nécessaire lorsque le cumul des masses modales n’atteint pas 90% de la masse totale avant la fréquence de coupure de 33 Hz. Cette nouvelle fonctionnalité est illustrée à l’aide de l’exemple ci-dessous tiré des Cahiers Techniques de l’Association Française du Génie Parasismique n°3 Octobre 1990 (http://www.afps-seisme.org).

Considérons un bâtiment de 7 niveaux de 3 m de hauteur chacun ayant les caractéristiques suivantes :

Niveau	Masse (t)	Aire (m²)	Inertie (m4)	Matériau
1	420	4.32	5.76	Béton armé
2	100	2.16	0.72	Béton armé
3	100	2.16	0.72	Béton armé
4	100	2.16	0.72	Béton armé
5	100	2.16	0.72	Béton armé
6	100	2.16	0.72	Béton armé
7	80	2.16	0.72	Béton armé

En conséquence les niveaux sont modélisés avec les sections rectangulaires suivantes :

Niveau	b (m)	h (m)	Module d'Young (MPa)
1	1.08	4.00	32000
2	1.08	2.00	32000
3	1.08	2.00	32000
4	1.08	2.00	32000
5	1.08	2.00	32000
6	1.08	2.00	32000
7	1.08	2.00	32000

Définissons une analyse modale sur cette structure avec les paramètres suivants :

Il est à noter que le paramètre « Négliger la densité » a été activé afin de ne pas considérer le poids propre des éléments. En effet, seule les masses indiquées dans les tableaux ci-dessus sont prises en compte dans les calculs. Elles sont définies en tant que masse ajoutées saisies manuellement en tête de chaque éléments comme le montre la figure ci-dessous. Notez que ces masses ne sont prises en compte que dans la direction X.

Les calculs nous donnes les modes propres de vibrations suivants :

Cas	Mode	Fréquence [Hz]	Période [sec]	Masses Cumulées UX [%]	Masse Modale UX [%]	Tot.mas.UX [t]
1	1	1,197677	0,83495	40,358475	40,358475	1000
1	2	7,276008	0,13744	56,197236	15,838761	1000
1	3	19,424209	0,05148	69,033178	12,835942	1000
1	4	33,513175	0,02984	88,43411	19,400932	1000
1	5	48,619183	0,02057	97,512539	9,078429	1000
1	6	70,488442	0,01419	99,533363	2,020825	1000
1	7	90,903628	0,011	100	0,466637	1000

Seuls les 3 premiers modes de vibrations peuvent être retenus pour un calcul sismique selon les PS92. En effet, à partir du mode 4 la fréquence de coupure de 33 Hz est dépassée. Cependant on constate que les 3 premiers modes de vibrations donne un cumul de masses modales de 69%. Les 90% de masses modales requis par les PS92 ne sont pas atteint, il faut donc prendre en compte un mode résiduel dans le calcul sismique.
Les données sismiques de notre exemple sont les suivantes :

Ce qui conformément au PS92 donne une accélération spectrale à appliquer à la structure de 2,5 m/s² pour une période T = 0s. L’option « Mode Résiduel » est activée dans les paramètres de l’analyse sismique. Ensuite en activant le bouton correspondant la fenêtre suivante apparaît à l’écran.

Il est alors possible de définir la fréquence qui sera affectée au mode résiduel et donc qui determinera l’accélération spectral affecté à ce mode.
En activant « Dernier mode retenu » le logiciel affectera au mode résiduel la fréquence du dernier mode retenu. Dans note exemple, cette fréquence sera égal à 19,42 Hz la fréquence du mode numéro 3. En effet, c’est le dernier mode ayant une fréquence inférieure à la fréquence de coupure égale à 33 Hz.
En activant « Fréquence limite », l’utilisateur peut définir manuellement la fréquence qui sera affecté au mode résiduel. En général, cette fréquence sera égale à la fréquence de coupure. C’est cette dernière option qui correspond aux prescriptions des PS92.
Le champ « Facteur multiplicateur » permet d’amplifier les efforts sismiques du mode résiduel si nécessaire. En général cette valeur sera conservée égale à 1.
Dans notre exemple, on choisira une « Fréquence limite » de 33 Hz et un coefficient multiplicateur égal à 1.
Dans les paramètres de l’analyse sismique il ne faut pas oublier de définir un filtre sur les modes propres de vibrations calculés dans l’analyse modale. En effet, il ne faut prendre en compte que les modes de vibrations ayant une fréquence inférieure à 33 Hz. Dans le cas contraire le logiciel prendra en compte l’ensemble des modes calculés dans l’analyse sismique.
Dans notre exemple, seul les modes 1, 2, et 3 doivent être prise en compte dans l’analyse sismique. En conséquence, en activant le bouton « Filtres » (entouré en bleu dans la fenêtre ci-dessus) on définira les paramètres suivant :

L’analyse sismique prendra alors en compte les 3 premiers modes de vibrations issus de l’analyse modale PLUS le mode résiduel paramétré plus haut.
Une fois l’analyse sismique définie et les calculs de la structure réalisés. Le tableau des modes propres nous donne les résultats suivants pour le cas de charge sismique :

Cas	Mode	Fréquence [Hz]	Période [sec]	Masses Cumulées UX [%]	Masse Modale UX [%]	Tot.mas.UX [t]	Accélération Spectrale [m/sec2]
2	1	1,197677	0,83495	40,358475	40,358475	1000	1.534
2	2	7,276008	0,13744	56,197236	15,838761	1000	2.5
2	3	19,424209	0,05148	69,033178	12,835942	1000	2.5
2	4	33	0,030303	100	30,966822	1000	2.5

Le mode résiduel 4 a une masse modale correspondant strictement au complément de masses mis en mouvement par les 3 premiers modes. Ainsi la masse modale obtenue avec le mode résiduel est bien de 100% comme le préconise le PS92.
Le mode résiduel est bien affecté d’une accélération spectrale de 2,5 m/s² correspondant à une fréquence de 33 Hz soit une période de 0.033 s.
L’ensemble des résultats disponibles pour les modes de vibrations sont disponibles pour le mode résiduel (mode numéro 4 dans notre exemple).
La déformée modale :

Les forces pseudo-statiques (prise en compte un coefficient de comportement de 2,5) :

Les efforts internes (prise en compte d’un coefficient de comportement égal à 1) :

Les combinaisons quadratiques des réponses modales, CQC ou SRSS, prennent en compte le mode résiduel.

Comparaisons des résultats entre ROBOT Millennium v18.0 et le Cahier Technique N°3 de 1990 de l’A.F.P.S. :
On trouve entre 0% et 0.6% d'écart.

Remarques :
On constate que ROBOT Millennium donne les même résultats que ceux donnés par le Cahier Technique de l’A.F.P.S. Seuls la combinaisons SRSS donne des résultats légèrement différents.
L’écart constaté est du au spectre de réponse pris en compte.
Le cahier technique considère une pente descendante du spectre d’équation :

Alors que ROBOT Millennium prend en compte l’équation de l’article 5.232 du PS92, à savoir :

Ceci affecte les résultats sismiques du premier mode de vibration de la structure dont la période se trouve sur cette banche du spectre.

Il est important de remarquer que l’utilisation du mode résiduel est plus avantageux que l’utilisation du facteur multiplicateur défini à l’article 6.622 des PS92. En effet se dernier multiplie directement les résultats sismiques finaux alors que la méthode du mode résiduel consiste a prendre en compte un mode supplémentaire s’intégrant sous la racine carrée des combinaisons CQC ou SRSS. Ainsi compte tenu de la somme des masse participantes des 3 premiers modes de vibration de la structure (69,03%) le coefficient serait égal à 1.45. Avec les résultats donnés dans les tableaux 5 et 6 du Cahier Technique de l’A.F.P.S on obtiendrait les efforts tranchants et moment maximum suivants :

La valeur de l’effort tranchant maximum n’est guère différente de celle obtenue en utilisant le mode résiduel. En revanche celle du moment maximum augmente de près de 50%.

Emmanuel Lagardette
Direction Technique
RoboBAT France